Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 3} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{t}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ en $t$ y en $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} t^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $t^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Paso 4.2.2

Mueve $t^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Paso 4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.2.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Paso 5.1.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Paso 5.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{t^{2}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Paso 5.3

Evalúa el límite.

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Paso 5.3.1

Evalúa el límite de $\frac{1}{2}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$