Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $2$ por $18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $36$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $12$ de $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $12$ de $- 96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $12$ de $36$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

Paso 2.2.5

Factoriza $12$ de $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ por $12$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ por $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $3 x^{2} - 8 x + 3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $12$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Paso 2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 8$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.3

Resta $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Paso 2.6.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Paso 2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.3

Resta $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Paso 2.7.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Paso 2.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.8.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Paso 2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.3

Resta $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.8.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Paso 2.8.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Paso 2.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Paso 2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2.21525043$ en $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.21525043$ en la expresión.

$f (2.21525043) = 3 {(2.21525043)}^{4} - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Eleva $2.21525043$ a la potencia de $4$ .

$f (2.21525043) = 3 \cdot 24.08193188 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $24.08193188$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $2.21525043$ a la potencia de $3$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 \cdot 10.87097489 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 16$ por $10.87097489$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.5

Eleva $2.21525043$ a la potencia de $2$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 \cdot 4.90733449$

Paso 3.1.2.1.6

Multiplica $18$ por $4.90733449$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 88.33202097$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.1.2.2.1

Resta $173.93559828$ de $72.24579564$ .

$f (2.21525043) = - 101.68980263 + 88.33202097$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $- 101.68980263$ y $88.33202097$ .

$f (2.21525043) = - 13.35778166$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $- 13.35778166$ .

$- 13.35778166$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2.21525043$ en $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ es $(2.21525043, - 13.35778166)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2.21525043, - 13.35778166)$

Paso 3.3

Sustituye $0.45141622$ en $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.45141622$ en la expresión.

$f (0.45141622) = 3 {(0.45141622)}^{4} - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $0.45141622$ a la potencia de $4$ .

$f (0.45141622) = 3 \cdot 0.0415249 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $0.0415249$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $0.45141622$ a la potencia de $3$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 \cdot 0.09198807 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 16$ por $0.09198807$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.5

Eleva $0.45141622$ a la potencia de $2$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 \cdot 0.20377661$

Paso 3.3.2.1.6

Multiplica $18$ por $0.20377661$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 3.66797902$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $1.47180912$ de $0.12457472$ .

$f (0.45141622) = - 1.34723439 + 3.66797902$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $- 1.34723439$ y $3.66797902$ .

$f (0.45141622) = 2.32074462$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $2.32074462$ .

$2.32074462$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0.45141622$ en $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ es $(0.45141622, 2.32074462)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0.45141622, 2.32074462)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(2.21525043, - 13.35778166), (0.45141622, 2.32074462)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0.45141622) \cup (0.45141622, 2.21525043) \cup (2.21525043, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0.45141622)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.35141622$ en la expresión.

$f'' (0.35141622) = 36 {(0.35141622)}^{2} - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $0.35141622$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.35141622) = 36 \cdot 0.12349336 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $36$ por $0.12349336$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 96$ por $0.35141622$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 33.73595804 + 36$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $33.73595804$ de $4.44576119$ .

$f'' (0.35141622) = - 29.29019685 + 36$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 29.29019685$ y $36$ .

$f'' (0.35141622) = 6.70980314$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $6.70980314$ .

$6.70980314$

Paso 5.3

En $0.35141622$ , la segunda derivada es $6.70980314$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0.45141622)$ .

Incremento en $(- \infty, 0.45141622)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0.45141622, 2.21525043)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.\overline{3}$ en la expresión.

$f'' (1.\overline{3}) = 36 {(1.\overline{3})}^{2} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $1.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $36$ por $1.\overline{7}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 96$ por $1.\overline{3}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 128 + 36$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $128$ de $64$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 64 + 36$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 64$ y $36$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 28$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 28$ .

$- 28$

Paso 6.3

En $1.\overline{3}$ , la segunda derivada es $- 28$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0.45141622, 2.21525043)$ .

Decrecimiento en $(0.45141622, 2.21525043)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2.21525043, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.31525043$ en la expresión.

$f'' (2.31525043) = 36 {(2.31525043)}^{2} - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $2.31525043$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.31525043) = 36 \cdot 5.36038458 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $36$ por $5.36038458$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 96$ por $2.31525043$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 222.26404195 + 36$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Resta $222.26404195$ de $192.9738451$ .

$f'' (2.31525043) = - 29.29019685 + 36$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 29.29019685$ y $36$ .

$f'' (2.31525043) = 6.70980314$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $6.70980314$ .

$6.70980314$

Paso 7.3

En $2.31525043$ , la segunda derivada es $6.70980314$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(2.21525043, \infty)$ .

Incremento en $(2.21525043, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$ .

$(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$

Paso 9