Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (2 x^{2} + 18)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x^{2} + 18$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{2} + 18$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{2} + 18$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 18$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x + \frac{d}{d x} [18])$

Paso 2.5

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x + 0)$

Paso 2.6

Simplifica los términos.

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Paso 2.6.1

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x)$

Paso 2.6.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2 x^{2} + 18}$ .

$\frac{4}{2 x^{2} + 18} x$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{4}{2 x^{2} + 18}$ y $x$ .

$\frac{4 x}{2 x^{2} + 18}$

Paso 2.6.4

Cancela el factor común de $4$ y $2 x^{2} + 18$ .

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Paso 2.6.4.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 18}$

Paso 2.6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2}) + 18}$

Paso 2.6.4.2.2

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 2 \cdot 9}$

Paso 2.6.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 9)}$

Paso 2.6.4.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 9)}$

Paso 2.6.4.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x}{x^{2} + 9}$