Cálculo Ejemplos

$\log_{b} (18)$

Paso 1

Reescribe $\log_{b} (18)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 1.1

The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d b} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Paso 1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = e$ .

$\frac{d}{d b} [\frac{\ln (18)}{\ln (b)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $\ln (18)$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $\frac{\ln (18)}{\ln (b)}$ con respecto a $b$ es $\ln (18) \frac{d}{d b} [\frac{1}{\ln (b)}]$ .

$\ln (18) \frac{d}{d b} [\frac{1}{\ln (b)}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{\ln (b)}$ como $\ln^{- 1} (b)$ .

$\ln (18) \frac{d}{d b} [\ln^{- 1} (b)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ es $f' (g (b)) g' (b)$ donde $f (b) = b^{- 1}$ y $g (b) = \ln (b)$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (b)$ .

$\ln (18) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\ln (18) (- u^{- 2} \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (b)$ .

$\ln (18) (- \ln^{- 2} (b) \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

Paso 4

La derivada de $\ln (b)$ con respecto a $b$ es $\frac{1}{b}$ .

$\ln (18) (- \ln^{- 2} (b) \frac{1}{b})$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{b}$ y $\ln^{- 2} (b)$ .

$\ln (18) (- \frac{\ln^{- 2} (b)}{b})$

Paso 5.2

Mueve $\ln^{- 2} (b)$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (18) (- \frac{1}{b \ln^{2} (b)})$

Paso 5.3

Combina $\ln (18)$ y $\frac{1}{b \ln^{2} (b)}$ .

$- \frac{\ln (18)}{b \ln^{2} (b)}$