Cálculo Ejemplos

$x^{2} - x - \ln (x)$

Paso 1

Escribe $x^{2} - x - \ln (x)$ como una función.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{1}{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 3.5.2

Suma $2 + \frac{1}{x^{2}}$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia.

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Paso 5.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 5.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 5.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Paso 5.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Paso 6.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1, 1$

Paso 6.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 6.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Paso 6.3.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Paso 6.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Paso 6.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Paso 6.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Paso 6.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.4.1.1

Reordena los términos.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Paso 6.4.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 6.4.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Paso 6.4.1.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Paso 6.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Paso 6.4.1.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Paso 6.4.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.4.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Paso 6.4.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Paso 6.4.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 6.4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 6.4.3

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.3.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 6.4.3.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 6.4.3.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.4.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.4.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.4.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.4.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 6.4.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.4.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6.4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 2$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1} + 2$

Paso 10.1.2

Divide $1$ por $1$ .

$1 + 2$

Paso 10.2

Suma $1$ y $2$ .

$3$

Paso 11

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - (1) - \ln (1)$

Paso 12.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 1 - \ln (1)$

Paso 12.2.1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (1) = 1 - 1 - 0$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (1) = 1 - 1 + 0$

Paso 12.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 12.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (1) = 0 + 0$

Paso 12.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (1) = 0$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

$(1, 0)$ es un mínimo local

Paso 14