Cálculo Ejemplos

$z (t) = \frac{t^{2} + 5 t + 2}{t + 9}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2} + 5 t + 2$ y $g (t) = t + 9$ .

$\frac{(t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t + 2] - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 5 t + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{(t + 9) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 + 0) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $2 t + 5$ y $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 9$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9])}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (1 + \frac{d}{d t} [9])}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.10

Como $9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $9$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (1 + 0)}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) \cdot 1}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2)}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Expande $(t + 9) (2 t + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t (2 t + 5) + 9 (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 + 9 (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 t \cdot t + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.2

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.2.1.2.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.2.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{2 t^{2} + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 \cdot t + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 t + 18 t + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.5

Multiplica $9$ por $5$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 t + 18 t + 45 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.2

Suma $5 t$ y $18 t$ .

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - 5 t - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - 5 t - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Resta $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 23 t + 45 - 5 t - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Resta $5 t$ de $23 t$ .

$\frac{t^{2} + 18 t + 45 - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Resta $2$ de $45$ .

$\frac{t^{2} + 18 t + 43}{{(t + 9)}^{2}}$