Cálculo Ejemplos

$(- 3 k) {(\frac{- 2 k^{- 5}}{k^{3}})}^{- 4}$

Paso 1

Mueve $k^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3} k^{5}})}^{- 4}]$

Paso 2

Multiplica $k^{3}$ por $k^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3 + 5}})}^{- 4}]$

Paso 2.2

Suma $3$ y $5$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Paso 3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- \frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Paso 4

Factoriza $- 1$ de $- \frac{2}{k^{8}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- (\frac{2}{k^{8}}))}^{- 4}]$

Paso 5

Aplica la regla del producto a $- (\frac{2}{k^{8}})$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k ({(- 1)}^{- 4} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Paso 6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{{(- 1)}^{4}} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Paso 7

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 7.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Paso 7.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Paso 7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (1 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Paso 7.2.2

Multiplica ${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ por $1$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Paso 7.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ con respecto a $k$ es $- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Paso 8

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ es $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ donde $f (k) = k$ y $g (k) = {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ .

$- 3 (k \frac{d}{d k} [{(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}] + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ es $f' (g (k)) g' (k)$ donde $f (k) = k^{- 4}$ y $g (k) = \frac{2}{k^{8}}$ .

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Paso 9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2}{k^{8}}$ .

$- 3 (k (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$- 3 (k (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 9.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2}{k^{8}}$ .

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 10

Diferencia.

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Paso 10.1

Como $2$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $\frac{2}{k^{8}}$ con respecto a $k$ es $2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]$ .

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}])) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 10.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 10.2.2

Reescribe $\frac{1}{k^{8}}$ como ${(k^{8})}^{- 1}$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [{(k^{8})}^{- 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 10.2.3

Multiplica los exponentes en ${(k^{8})}^{- 1}$ .

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Paso 10.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{8 \cdot - 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 10.2.3.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{- 8}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 10.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ es $n k^{n - 1}$ donde $n = - 8$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (- 8 k^{- 9})) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 10.4

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$- 3 (k (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} k^{- 9}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 11

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (k^{- 9} k^{1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 (k^{- 9 + 1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 13

Suma $- 9$ y $1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ es $n k^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \cdot 1)$

Paso 15

Multiplica ${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ por $1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Paso 16.2

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Paso 16.3

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

Paso 16.4

Aplica la regla del producto a $\frac{k^{8}}{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

Paso 16.5

Aplica la regla del producto a $\frac{k^{8}}{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}})$

Paso 16.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7

Combina los términos.

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Paso 16.7.1

Multiplica los exponentes en ${(k^{8})}^{5}$ .

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Paso 16.7.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{8 \cdot 5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.1.2

Multiplica $8$ por $5$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{32})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.3

Combina $64$ y $\frac{k^{40}}{32}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{64 k^{40}}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.4

Cancela el factor común de $64$ y $32$ .

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Paso 16.7.4.1

Factoriza $32$ de $64 k^{40}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.7.4.2.1

Factoriza $32$ de $32$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 (1)}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 \cdot 1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{2 k^{40}}{1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.4.2.4

Divide $2 k^{40}$ por $1$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (2 k^{40})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.5

Combina $2$ y $\frac{1}{k^{8}}$ .

$- 3 (\frac{2}{k^{8}} k^{40}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.6

Combina $\frac{2}{k^{8}}$ y $k^{40}$ .

$- 3 \frac{2 k^{40}}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.7

Cancela el factor común de $k^{40}$ y $k^{8}$ .

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Paso 16.7.7.1

Factoriza $k^{8}$ de $2 k^{40}$ .

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.7.7.2.1

Multiplica por $1$ .

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.7.2.2

Cancela el factor común.

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- 3 \frac{2 k^{32}}{1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.7.2.4

Divide $2 k^{32}$ por $1$ .

$- 3 (2 k^{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.8

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.9

Multiplica los exponentes en ${(k^{8})}^{4}$ .

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Paso 16.7.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{8 \cdot 4}}{2^{4}}$

Paso 16.7.9.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{2^{4}}$

Paso 16.7.10

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{16}$

Paso 16.7.11

Combina $- 3$ y $\frac{k^{32}}{16}$ .

$- 6 k^{32} + \frac{- 3 k^{32}}{16}$

Paso 16.7.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 6 k^{32} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Paso 16.7.13

Para escribir $- 6 k^{32}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$- 6 k^{32} \cdot \frac{16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Paso 16.7.14

Combina $- 6 k^{32}$ y $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Paso 16.7.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16 - 3 k^{32}}{16}$

Paso 16.7.16

Multiplica $16$ por $- 6$ .

$\frac{- 96 k^{32} - 3 k^{32}}{16}$

Paso 16.7.17

Resta $3 k^{32}$ de $- 96 k^{32}$ .

$\frac{- 99 k^{32}}{16}$

Paso 16.7.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{99 k^{32}}{16}$