Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} x^{5} e^{- x^{4}}$

Paso 1

Reescribe $x^{5} e^{- x^{4}}$ como $\frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Paso 2.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Paso 2.1.3

Como el exponente $x^{4}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x^{4}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} (4 x^{3})}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reordena los factores de $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

Paso 2.3.5.2

Reordena los factores en $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $x^{3}$ de $5 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $4 x^{3} e^{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{4 e^{x^{4}}}$

Paso 3

Mueve el término $\frac{5}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Paso 4.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Paso 4.1.3

Como el exponente $x^{4}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x^{4}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 4.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}}$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Reordena los factores de $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

Paso 4.3.5.2

Reordena los factores en $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Paso 5

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4 \cdot 4} \cdot 0$

Paso 7.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{5}{16} \cdot 0$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{5}{16}$ por $0$ .

$0$