Cálculo Ejemplos

$- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$ con respecto a $p$ es $\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$ .

$\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})]$ .

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Paso 2.1

Como $- \frac{3}{4}$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})$ con respecto a $p$ es $- \frac{3}{4} \frac{d}{d p} [\log_{3} (16 p^{4})]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d p} [\log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ es $f' (g (p)) g' (p)$ donde $f (p) = \log_{3} (p)$ y $g (p) = 16 p^{4}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $16 p^{4}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\log_{3} (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $16 p^{4}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.3

Como $16$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $16 p^{4}$ con respecto a $p$ es $16 \frac{d}{d p} [p^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (16 \frac{d}{d p} [p^{4}])) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (16 (4 p^{3}))) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.5

Multiplica $4$ por $16$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (64 p^{3})) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.6

Combina $64$ y $\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{64}{16 p^{4} \ln (3)} p^{3}) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.7

Combina $\frac{64}{16 p^{4} \ln (3)}$ y $p^{3}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{64 p^{3}}{16 p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.8

Cancela el factor común de $64$ y $16$ .

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Paso 2.8.1

Factoriza $16$ de $64 p^{3}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.2.1

Factoriza $16$ de $16 p^{4} \ln (3)$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 (p^{4} \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.8.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 (p^{4} \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{4 p^{3}}{p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.9

Cancela el factor común de $p^{3}$ y $p^{4}$ .

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Paso 2.9.1

Factoriza $p^{3}$ de $4 p^{3}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.9.2.1

Factoriza $p^{3}$ de $p^{4} \ln (3)$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{3} (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.9.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{3} (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{4}{p \ln (3)}$ por $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{4 \cdot 3}{p \ln (3) \cdot 4} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.11

Multiplica $4$ por $3$ .

$- \frac{12}{p \ln (3) \cdot 4} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.12

Mueve $4$ a la izquierda de $p \ln (3)$ .

$- \frac{12}{4 \cdot (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.13

Cancela el factor común de $12$ y $4$ .

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Paso 2.13.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$- \frac{4 \cdot 3}{4 p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.2.1

Factoriza $4$ de $4 p \ln (3)$ .

$- \frac{4 \cdot 3}{4 (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.13.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \cdot 3}{4 (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$ con respecto a $p$ es $- \frac{2}{3} \frac{d}{d p} [\log_{3} (8 p^{3})]$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \frac{d}{d p} [\log_{3} (8 p^{3})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ es $f' (g (p)) g' (p)$ donde $f (p) = \log_{3} (p)$ y $g (p) = 8 p^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $8 p^{3}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\log_{3} (u_{2})] \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\log_{3} (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{u_{2} \ln (3)} \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $8 p^{3}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

Paso 3.3

Como $8$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $8 p^{3}$ con respecto a $p$ es $8 \frac{d}{d p} [p^{3}]$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (8 \frac{d}{d p} [p^{3}]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (8 (3 p^{2})))$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $8$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (24 p^{2}))$

Paso 3.6

Combina $24$ y $\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{24}{8 p^{3} \ln (3)} p^{2})$

Paso 3.7

Combina $\frac{24}{8 p^{3} \ln (3)}$ y $p^{2}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{24 p^{2}}{8 p^{3} \ln (3)}$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $24$ y $8$ .

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Paso 3.8.1

Factoriza $8$ de $24 p^{2}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 p^{3} \ln (3)}$

Paso 3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.2.1

Factoriza $8$ de $8 p^{3} \ln (3)$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 (p^{3} \ln (3))}$

Paso 3.8.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 (p^{3} \ln (3))}$

Paso 3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 p^{2}}{p^{3} \ln (3)}$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $p^{2}$ y $p^{3}$ .

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Paso 3.9.1

Factoriza $p^{2}$ de $3 p^{2}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{3} \ln (3)}$

Paso 3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.1

Factoriza $p^{2}$ de $p^{3} \ln (3)$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{2} (p \ln (3))}$

Paso 3.9.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{2} (p \ln (3))}$

Paso 3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{p \ln (3)}$

Paso 3.10

Multiplica $\frac{3}{p \ln (3)}$ por $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{p \ln (3) \cdot 3}$

Paso 3.11

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{6}{p \ln (3) \cdot 3}$

Paso 3.12

Mueve $3$ a la izquierda de $p \ln (3)$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{6}{3 \cdot (p \ln (3))}$

Paso 3.13

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 3.13.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 p \ln (3)}$

Paso 3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.13.2.1

Factoriza $3$ de $3 p \ln (3)$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 (p \ln (3))}$

Paso 3.13.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 (p \ln (3))}$

Paso 3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{p \ln (3)}$

Paso 4

Combina los términos.

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Paso 4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 - 2}{p \ln (3)}$

Paso 4.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$\frac{- 5}{p \ln (3)}$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{p \ln (3)}$