Cálculo Ejemplos

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

Paso 1

Como $r$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ con respecto a $n$ es $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ .

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ es $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ donde $f (n) = n$ y $g (n) = 1 + (n - 1) r$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $1 + (n - 1) r$ por $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + (n - 1) r$ con respecto a $n$ es $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $1$ con respecto a $n$ es $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $r$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $(n - 1) r$ con respecto a $n$ es $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $n - 1$ con respecto a $n$ es $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $n$ es $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.10

Combina fracciones.

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Paso 3.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 3.10.3

Combina $r$ y $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ .

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

Combina los términos opuestos en $r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ .

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Paso 4.4.1.1

Reordena los factores en los términos $r (n r)$ y $r (- n r)$ .

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Paso 4.4.1.2

Resta $n r \cdot r$ de $n r \cdot r$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Paso 4.4.1.3

Suma $r \cdot 1 + r (- 1 r)$ y $0$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1

Multiplica $r$ por $1$ .

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Paso 4.4.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Paso 4.4.2.3

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.2.3.1

Mueve $r$ .

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Paso 4.4.2.3.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Paso 4.5

Reescribe $- 1 r$ como $- r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

Paso 4.6

Reordena los términos.

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Paso 4.7

Factoriza $r$ de $- r^{2} + r$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $r$ de $- r^{2}$ .

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Paso 4.7.2

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Paso 4.7.3

Factoriza $r$ de $r^{1}$ .

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Paso 4.7.4

Factoriza $r$ de $r (- r) + r \cdot 1$ .

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Paso 4.8

Factoriza $- 1$ de $- r$ .

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Paso 4.9

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Paso 4.10

Factoriza $- 1$ de $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Paso 4.11

Reescribe $- (r - 1)$ como $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Paso 4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$