Cálculo Ejemplos

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ .

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Paso 2.1

Combina $p$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.2

Combina $\frac{p \cdot 4}{3}$ y ${(r + h)}^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $p$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.4

Como $\frac{4 p}{3}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ con respecto a $r$ es $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ .

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{3}$ y $g (r) = r + h$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $r + h$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.8

Como $h$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $h$ con respecto a $r$ es $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.9

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.11

Combina $3$ y $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.12

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.13

Combina $\frac{12 p}{3}$ y ${(r + h)}^{2}$ .

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.14

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 2.14.1

Factoriza $3$ de $12 p {(r + h)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.14.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 2.14.2.4

Divide $4 p {(r + h)}^{2}$ por $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

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Paso 3.1

Combina $p$ y $\frac{4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Paso 3.2

Combina $r^{3}$ y $\frac{p \cdot 4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

Paso 3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $p$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

Paso 3.4

Mueve $4$ a la izquierda de $r^{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

Paso 3.5

Como $- \frac{4 p}{3}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ con respecto a $r$ es $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

Paso 3.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

Paso 3.8

Combina $- 3$ y $\frac{4 p}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

Paso 3.9

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

Paso 3.10

Combina $\frac{- 12 p}{3}$ y $r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

Paso 3.11

Cancela el factor común de $- 12$ y $3$ .

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Paso 3.11.1

Factoriza $3$ de $- 12 p r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

Paso 3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

Paso 3.11.2.2

Cancela el factor común.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

Paso 3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

Paso 3.11.2.4

Divide $- 4 p r^{2}$ por $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe ${(r + h)}^{2}$ como $(r + h) (r + h)$ .

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

Paso 4.2.2

Expande $(r + h) (r + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Paso 4.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Paso 4.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Paso 4.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Paso 4.2.3.2

Suma $r h$ y $h r$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Reordena $r$ y $h$ .

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Paso 4.2.3.2.2

Suma $h r$ y $h r$ .

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Paso 4.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Paso 4.2.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Paso 4.3

Combina los términos opuestos en $4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ .

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Paso 4.3.1

Reordena los factores en los términos $4 p r^{2}$ y $- 4 r^{2} p$ .

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Paso 4.3.2

Resta $4 r^{2} p$ de $4 r^{2} p$ .

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

Paso 4.3.3

Suma $8 p h r + 4 p h^{2}$ y $0$ .

$8 p h r + 4 p h^{2}$