Cálculo Ejemplos

$- \frac{A}{r^{2}} + \frac{B}{r^{3}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{A}{r^{2}} + \frac{B}{r^{3}}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$ .

$\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $- A$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- \frac{A}{r^{2}}$ con respecto a $r$ es $- A \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$- A \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{r^{2}}$ como ${(r^{2})}^{- 1}$ .

$- A \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{- 1}$ y $g (r) = r^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $r^{2}$ .

$- A (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- A (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $r^{2}$ .

$- A (- {(r^{2})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- A (- {(r^{2})}^{- 2} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(r^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- A (- r^{2 \cdot - 2} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- A (- r^{- 4} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- A (- 2 r^{- 4} r) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.7

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$- A (- 2 (r^{1} r^{- 4})) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- A (- 2 r^{1 - 4}) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.9

Resta $4$ de $1$ .

$- A (- 2 r^{- 3}) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 2.10

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 A r^{- 3} + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$ .

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Paso 3.1

Como $B$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{B}{r^{3}}$ con respecto a $r$ es $B \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{3}}]$ .

$2 A r^{- 3} + B \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{3}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{r^{3}}$ como ${(r^{3})}^{- 1}$ .

$2 A r^{- 3} + B \frac{d}{d r} [{(r^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = r^{- 1}$ y $g (r) = r^{3}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $r^{3}$ .

$2 A r^{- 3} + B (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $r^{3}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {(r^{3})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {(r^{3})}^{- 2} (3 r^{2}))$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(r^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- r^{3 \cdot - 2} (3 r^{2}))$

Paso 3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$2 A r^{- 3} + B (- r^{- 6} (3 r^{2}))$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{- 6} r^{2})$

Paso 3.7

Multiplica $r^{- 6}$ por $r^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Mueve $r^{2}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 (r^{2} r^{- 6}))$

Paso 3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{2 - 6})$

Paso 3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{- 4})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 A \frac{1}{r^{3}} + B (- 3 r^{- 4})$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 A \frac{1}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{r^{3}}$ .

$A \frac{2}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Paso 4.3.2

Combina $A$ y $\frac{2}{r^{3}}$ .

$\frac{A \cdot 2}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Paso 4.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$\frac{2 \cdot A}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Paso 4.3.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{r^{4}}$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} + B \frac{- 3}{r^{4}}$

Paso 4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 A}{r^{3}} + B (- \frac{3}{r^{4}})$

Paso 4.3.6

Combina $B$ y $\frac{3}{r^{4}}$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} - \frac{B \cdot 3}{r^{4}}$

Paso 4.3.7

Mueve $3$ a la izquierda de $B$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} - \frac{3 B}{r^{4}}$