Cálculo Ejemplos

$\sqrt{r} + \sqrt[3]{r}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{r} + \sqrt[3]{r}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{r}$ como $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{r}$ como $r^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{1 - 3}{3}}$

Paso 3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{- 2}{3}}$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$