Cálculo Ejemplos

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ es $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ donde $f (s) = s^{2} + 1$ y $g (s) = e^{- s^{2}}$ .

$(s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [e^{- s^{2}}] + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = e^{s}$ y $g (s) = - s^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- s^{2}$ .

$(s^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(s^{2} + 1) (e^{u} \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- s^{2}$ .

$(s^{2} + 1) (e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- s^{2}$ con respecto a $s$ es $- \frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- \frac{d}{d s} [s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- (2 s)) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $s^{2} + 1$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s + \frac{d}{d s} [1])$

Paso 3.6

Como $1$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $1$ con respecto a $s$ es $0$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s + 0)$

Paso 3.7

Suma $2 s$ y $0$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(s^{2} e^{- s^{2}} + 1 e^{- s^{2}}) (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$s^{2} e^{- s^{2}} (- 2 s) + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$s^{1} s^{2} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Paso 4.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$s^{1 + 2} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Paso 4.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$s^{3} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Paso 4.3.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $s^{3} e^{- s^{2}}$ .

$- 2 \cdot (s^{3} e^{- s^{2}}) + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Paso 4.3.5

Multiplica $e^{- s^{2}}$ por $1$ .

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} + e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Paso 4.3.6

Mueve $e^{- s^{2}}$ .

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} - 2 s e^{- s^{2}} + 2 s e^{- s^{2}}$

Paso 4.3.7

Suma $- 2 s e^{- s^{2}}$ y $2 s e^{- s^{2}}$ .

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} + 0$

Paso 4.3.8

Suma $- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$ y $0$ .

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$ .

$- 2 e^{- s^{2}} s^{3}$

Paso 4.5

Reordena los factores en $- 2 e^{- s^{2}} s^{3}$ .

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$