Cálculo Ejemplos

$y = (r^{2} - 2 r) e^{r}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ es $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ donde $f (r) = r^{2} - 2 r$ y $g (r) = e^{r}$ .

$(r^{2} - 2 r) \frac{d}{d r} [e^{r}] + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 2 r]$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ es $a^{r} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 2 r]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $r^{2} - 2 r$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 2 r]$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 2 r])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r + \frac{d}{d r} [- 2 r])$

Paso 3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- 2 r$ con respecto a $r$ es $- 2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2 \frac{d}{d r} [r])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2 \cdot 1)$

Paso 3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r - 2)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r) + e^{r} \cdot - 2$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r) - 2 \cdot e^{r}$

Paso 4.3.2

Suma $- 2 r e^{r}$ y $e^{r} (2 r)$ .

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Paso 4.3.2.1

Mueve $e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + 2 r e^{r} - 2 e^{r}$

Paso 4.3.2.2

Suma $- 2 r e^{r}$ y $2 r e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} + 0 - 2 e^{r}$

Paso 4.3.3

Suma $r^{2} e^{r}$ y $0$ .

$r^{2} e^{r} - 2 e^{r}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$e^{r} r^{2} - 2 e^{r}$

Paso 4.5

Reordena los factores en $e^{r} r^{2} - 2 e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 e^{r}$