Cálculo Ejemplos

$\log_{5} (9^{s} - 4)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = \log_{5} (s)$ y $g (s) = 9^{s} - 4$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9^{s} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

Paso 1.2

La derivada de $\log_{5} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9^{s} - 4$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $9^{s} - 4$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [9^{s}] + \frac{d}{d s} [- 4]$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (\frac{d}{d s} [9^{s}] + \frac{d}{d s} [- 4])$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ es $a^{s} \ln (a)$ donde $a$ = $9$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9) + \frac{d}{d s} [- 4])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $s$ es $0$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9) + 0)$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Suma $9^{s} \ln (9)$ y $0$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9))$

Paso 4.2.2

Combina $9^{s}$ y $\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$ .

$\frac{9^{s}}{(9^{s} - 4) \ln (5)} \ln (9)$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{9^{s}}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$ y $\ln (9)$ .

$\frac{9^{s} \ln (9)}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$

Paso 4.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9^{s} \ln (9)}{9^{s} \ln (5) - 4 \ln (5)}$