Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{2 s} - \frac{5}{4 s^{3}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2 s} - \frac{5}{4 s^{3}}$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $\frac{1}{2 s}$ con respecto a $s$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{s}$ como $s^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $s^{- 2}$ .

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

Paso 2.5

Mueve $s^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d s} [- \frac{5}{4 s^{3}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{5}{4}$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- \frac{5}{4 s^{3}}$ con respecto a $s$ es $- \frac{5}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{s^{3}}$ como ${(s^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} \frac{d}{d s} [{(s^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = s^{- 1}$ y $g (s) = s^{3}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $s^{3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{3}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $s^{3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} (3 s^{2}))$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(s^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- s^{3 \cdot - 2} (3 s^{2}))$

Paso 3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- s^{- 6} (3 s^{2}))$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- 3 s^{- 6} s^{2})$

Paso 3.7

Multiplica $s^{- 6}$ por $s^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Mueve $s^{2}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- 3 (s^{2} s^{- 6}))$

Paso 3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- 3 s^{2 - 6})$

Paso 3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{5}{4} (- 3 s^{- 4})$

Paso 3.8

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 3 (\frac{5}{4}) s^{- 4}$

Paso 3.9

Combina $3$ y $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{3 \cdot 5}{4} s^{- 4}$

Paso 3.10

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{15}{4} s^{- 4}$

Paso 3.11

Combina $\frac{15}{4}$ y $s^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{15 s^{- 4}}{4}$

Paso 3.12

Mueve $s^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{15}{4 s^{4}}$