Cálculo Ejemplos

$\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$

Paso 1

Como $500$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$ con respecto a $t$ es $500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = 2 t^{2} + 25$ .

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $2 t^{2} + 25$ por $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t^{2} + 25$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t^{2}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $25$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $25$ con respecto a $t$ es $0$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1

Suma $4 t$ y $0$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 4

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t^{1})}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{1 + 1}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 8

Resta $4 t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$500 \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 9

Combina $500$ y $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 2$ por $500$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $500$ por $25$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10.3

Factoriza $500$ de $- 1000 t^{2} + 12500$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $500$ de $- 1000 t^{2}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10.3.2

Factoriza $500$ de $12500$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10.3.3

Factoriza $500$ de $500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 t^{2}$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10.5

Reescribe $25$ como $- 1 (- 25)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 t^{2}) - 1 (- 25)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10.7

Reescribe $- (2 t^{2} - 25)$ como $- 1 (2 t^{2} - 25)$ .

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 10.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{500 (2 t^{2} - 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$