Cálculo Ejemplos

$\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}} - \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}} - \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}]$ .

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}$ como ${(t^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = t^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $t^{\frac{1}{5}}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t^{\frac{1}{5}}$ .

$5 (- {(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$5 (- {(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- t^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.5.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 2$ .

$5 (- t^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.9.2

Resta $5$ de $1$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.11

Combina $\frac{1}{5}$ y $t^{- \frac{4}{5}}$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} \frac{t^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.12

Combina $\frac{t^{- \frac{4}{5}}}{5}$ y $t^{- \frac{2}{5}}$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{4}{5}} t^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.13

Multiplica $t^{- \frac{4}{5}}$ por $t^{- \frac{2}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 (- \frac{t^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (- \frac{t^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.13.3

Resta $2$ de $- 4$ .

$5 (- \frac{t^{\frac{- 6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (- \frac{t^{- \frac{6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.14

Mueve $t^{- \frac{6}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.15

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.16

Combina $- 5$ y $\frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{- 5}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.17

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.18.1

Factoriza $5$ de $5 t^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (t^{\frac{6}{5}})} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.18.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.18.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 2.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $t$ es $- 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}$ como ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = t^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Paso 3.5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Paso 3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Paso 3.9.2

Resta $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3.10

Combina $\frac{3}{2}$ y $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.11

Combina $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $t^{- 3}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{1}{2}} t^{- 3}}{2})$

Paso 3.12

Multiplica $t^{\frac{1}{2}}$ por $t^{- 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.12.1

Mueve $t^{- 3}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 (t^{- 3} t^{\frac{1}{2}})}{2})$

Paso 3.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.12.3

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.12.4

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

Paso 3.12.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.6.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

Paso 3.12.6.2

Suma $- 6$ y $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

Paso 3.12.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- \frac{5}{2}}}{2})$

Paso 3.13

Mueve $t^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}})$

Paso 3.14

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + 8 \frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.15

Combina $8$ y $\frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{8 \cdot 3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.16

Multiplica $8$ por $3$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{24}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.17

Factoriza $2$ de $24$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.18.1

Factoriza $2$ de $2 t^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 (t^{\frac{5}{2}})}$

Paso 3.18.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.18.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{12}{t^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{12}{t^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}}$