Cálculo Ejemplos

$\frac{8 + e^{t}}{3 t^{4} - t}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = 8 + e^{t}$ y $g (t) = 3 t^{4} - t$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) \frac{d}{d t} [8 + e^{t}] - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + e^{t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [e^{t}]) - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}]) - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) \frac{d}{d t} [e^{t}] - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t^{4} - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 4.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{4}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (3 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (3 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1 \cdot 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 4.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} + (- 1 \cdot 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} + (- 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Expande $(- 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3} - 1) - e^{t} (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3}) - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3}) - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1

Multiplica $12$ por $- 8$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 1 \cdot 12 e^{t} t^{3} - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3.5

Multiplica $- e^{t} \cdot - 1$ .

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Paso 5.3.1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + 1 e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3.5.2

Multiplica $e^{t}$ por $1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reordena los factores en $3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + e^{t}$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 t^{3} e^{t} + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{- 96 t^{3} + 3 e^{t} t^{4} - e^{t} t - 12 e^{t} t^{3} + 8 + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$