Cálculo Ejemplos

$\sec^{2} (π t)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \sec (π t)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (π t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sec (π t)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sec (π t)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (π t)$ .

$2 \sec (π t) \frac{d}{d t} [\sec (π t)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sec (t)$ y $g (t) = π t$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $π t$ .

$2 \sec (π t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t])$

Paso 2.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (π t) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $π t$ .

$2 \sec (π t) (\sec (π t) \tan (π t) \frac{d}{d t} [π t])$

Paso 3

Eleva $\sec (π t)$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{1} (π t) \sec (π t)) (\tan (π t) \frac{d}{d t} [π t])$

Paso 4

Eleva $\sec (π t)$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{1} (π t) \sec^{1} (π t)) (\tan (π t) \frac{d}{d t} [π t])$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\sec (π t)}^{1 + 1} (\tan (π t) \frac{d}{d t} [π t])$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$2 \sec^{2} (π t) (\tan (π t) \frac{d}{d t} [π t])$

Paso 7

Como $π$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $π t$ con respecto a $t$ es $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \sec^{2} (π t) \tan (π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \sec^{2} (π t) \tan (π t) (π \cdot 1)$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$2 \sec^{2} (π t) \tan (π t) π$

Paso 9.2

Reordena los factores de $2 \sec^{2} (π t) \tan (π t) π$ .

$2 π \sec^{2} (π t) \tan (π t)$