Cálculo Ejemplos

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 1 - \cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 2

La derivada de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $\cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 3.5

Multiplica.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 3.5.2

Multiplica $\sin (t)$ por $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 4

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 5

Eleva $\sin (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 6

Eleva $\sin (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Multiplica $\cos (t)$ por $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $- \cos (t) \cos (t)$ .

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Paso 9.2.1.2.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2.1.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2.2

Factoriza $- 1$ de $- \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2.3

Factoriza $- 1$ de $- \sin^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2.5

Reorganiza los términos.

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.3

Combina los términos.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $\cos (t) - 1$ y ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $\cos (t)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.3.1.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.3.1.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.3.1.5

Factoriza $1 - \cos (t)$ de $- 1 (1 - \cos (t))$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Paso 9.3.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.6.1

Factoriza $1 - \cos (t)$ de ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Paso 9.3.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Paso 9.3.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

Paso 9.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$