Cálculo Ejemplos

$\frac{t}{7 + t^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = 7 + t^{2}$ .

$\frac{(7 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(7 + t^{2}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica $7 + t^{2}$ por $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $7 + t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (2 t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 t \cdot t}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 4

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t^{1})}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{1 + 1}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 7

Resta $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{7 - t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Paso 8

Reordena los términos.

$\frac{- t^{2} + 7}{{(t^{2} + 7)}^{2}}$