Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (t^{2} + \tan (t))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \sin (t^{2} + \tan (t))$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (t^{2} + \tan (t))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (t^{2} + \tan (t))]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2} + \tan (t))]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (t^{2} + \tan (t))$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t^{2} + \tan (t))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = t^{2} + \tan (t)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t^{2} + \tan (t)$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{2} + \tan (t)])$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{2} + \tan (t)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t^{2} + \tan (t)$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) (\cos (t^{2} + \tan (t)) \frac{d}{d t} [t^{2} + \tan (t)])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + \tan (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) \cos (t^{2} + \tan (t)) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) \cos (t^{2} + \tan (t)) (2 t + \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Paso 4

La derivada de $\tan (t)$ con respecto a $t$ es $\sec^{2} (t)$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) \cos (t^{2} + \tan (t)) (2 t + \sec^{2} (t))$

Paso 5

Reordena los factores de $2 \sin (t^{2} + \tan (t)) \cos (t^{2} + \tan (t)) (2 t + \sec^{2} (t))$ .

$2 \cos (t^{2} + \tan (t)) \sin (t^{2} + \tan (t)) (2 t + \sec^{2} (t))$