Cálculo Ejemplos

$e^{t} (e^{2 t} - e^{- 2 t})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = e^{2 t} - e^{- 2 t}$ .

$e^{t} \frac{d}{d t} [e^{2 t} - e^{- 2 t}] + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 t} - e^{- 2 t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]$ .

$e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 t$ .

$e^{t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t$ .

$e^{t} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{t} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{t} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 t}$ .

$e^{t} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- e^{- 2 t}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} - \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - 2 t$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 2 t$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 t$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} - (e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2 t$ con respecto a $t$ es $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} - e^{- 2 t} (- 2 \frac{d}{d t} [t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 6.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t} \cdot 1) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 6.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Paso 7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) e^{t}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{t} (2 e^{2 t}) + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) e^{t}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{t} (2 e^{2 t}) + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3

Combina los términos.

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Paso 8.3.1

Multiplica $e^{t}$ por $e^{2 t}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.1.1

Mueve $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} e^{t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{2 t + t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3.1.3

Suma $2 t$ y $t$ .

$e^{3 t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{3 t}$ .

$2 \cdot e^{3 t} + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3.3

Multiplica $e^{t}$ por $e^{- 2 t}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.3.1

Mueve $e^{- 2 t}$ .

$2 e^{3 t} + e^{- 2 t} e^{t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 e^{3 t} + e^{- 2 t + t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3.3.3

Suma $- 2 t$ y $t$ .

$2 e^{3 t} + e^{- t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{- t}$ .

$2 e^{3 t} + 2 \cdot e^{- t} + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3.5

Multiplica $e^{2 t}$ por $e^{t}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.5.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{2 t + t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3.5.2

Suma $2 t$ y $t$ .

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Paso 8.3.6

Multiplica $e^{- 2 t}$ por $e^{t}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.6.1

Mueve $e^{t}$ .

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - (e^{t} e^{- 2 t})$

Paso 8.3.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{t - 2 t}$

Paso 8.3.6.3

Resta $2 t$ de $t$ .

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{- t}$

Paso 8.3.7

Suma $2 e^{3 t}$ y $e^{3 t}$ .

$3 e^{3 t} + 2 e^{- t} - e^{- t}$

Paso 8.3.8

Resta $e^{- t}$ de $2 e^{- t}$ .

$3 e^{3 t} + e^{- t}$