Cálculo Ejemplos

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = {(1 + 5 t)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(1 + 5 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(1 + 5 t)}^{2}$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = 1 + 5 t$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + 5 t$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + 5 t$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 5 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 t]))$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (0 + \frac{d}{d t} [5 t]))$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [5 t])$

Paso 3.4

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (5 \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 3.5

Multiplica $5$ por $2$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t) \cdot 1)$

Paso 3.7

Multiplica $10$ por $1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 \cdot 1 + 10 (5 t))$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $10$ por $1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 + 10 (5 t))$

Paso 4.2.2

Multiplica $5$ por $10$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 + 50 t)$