Cálculo Ejemplos

${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de ${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{4}$ y $g (t) = 8 t - 7$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $8 t - 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $8 t - 7$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 t - 7$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 2.3

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8 t$ con respecto a $t$ es $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 2.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $t$ es $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 2.6

Multiplica $8$ por $1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 2.7

Suma $8$ y $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \cdot 8 + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 2.8

Multiplica $8$ por $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{4}$ y $g (t) = 8 t + 7$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 t + 7$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7])$

Paso 3.3

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8 t$ con respecto a $t$ es $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7])$

Paso 3.5

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7$ con respecto a $t$ es $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0)$

Paso 3.6

Multiplica $8$ por $1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 + 0)$

Paso 3.7

Suma $8$ y $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \cdot 8$

Paso 3.8

Multiplica $8$ por $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza $32$ de $32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $32$ de $32 {(8 t - 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Paso 4.1.2

Factoriza $32$ de $32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.1.3

Factoriza $32$ de $32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Usa el teorema del binomio.

$32 ({(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla del producto a $8 t$ .

$32 (8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$32 (512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.2.3

Aplica la regla del producto a $8 t$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.2.4

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $64$ por $3$ .

$32 (512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.2.6

Multiplica $- 7$ por $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.2.7

Multiplica $8$ por $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.2.8

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.2.9

Multiplica $49$ por $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.2.10

Eleva $- 7$ a la potencia de $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t + 7)}^{3})$

Paso 4.2.3

Usa el teorema del binomio.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Aplica la regla del producto a $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Paso 4.2.4.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Paso 4.2.4.3

Aplica la regla del producto a $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Paso 4.2.4.4

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Paso 4.2.4.5

Multiplica $64$ por $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Paso 4.2.4.6

Multiplica $7$ por $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Paso 4.2.4.7

Multiplica $8$ por $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Paso 4.2.4.8

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + 7^{3})$

Paso 4.2.4.9

Multiplica $49$ por $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 7^{3})$

Paso 4.2.4.10

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343)$

Paso 4.3

Combina los términos opuestos en $512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343$ .

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Paso 4.3.1

Suma $- 1344 t^{2}$ y $1344 t^{2}$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 0 + 1176 t + 343)$

Paso 4.3.2

Suma $512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3}$ y $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1176 t + 343)$

Paso 4.3.3

Suma $- 343$ y $343$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t + 0)$

Paso 4.3.4

Suma $512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t$ y $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t)$

Paso 4.4

Suma $512 t^{3}$ y $512 t^{3}$ .

$32 (1024 t^{3} + 1176 t + 1176 t)$

Paso 4.5

Suma $1176 t$ y $1176 t$ .

$32 (1024 t^{3} + 2352 t)$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$32 (1024 t^{3}) + 32 (2352 t)$

Paso 4.7

Multiplica $1024$ por $32$ .

$32768 t^{3} + 32 (2352 t)$

Paso 4.8

Multiplica $2352$ por $32$ .

$32768 t^{3} + 75264 t$