Cálculo Ejemplos

${(20 \cos (100 t))}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Factoriza $20$ de $20 \cos (100 t)$ .

$\frac{d}{d t} [{(20 (\cos (100 t)))}^{2}]$

Paso 1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1

Aplica la regla del producto a $20 (\cos (100 t))$ .

$\frac{d}{d t} [20^{2} \cos^{2} (100 t)]$

Paso 1.2.2

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d t} [400 \cos^{2} (100 t)]$

Paso 1.3

Como $400$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $400 \cos^{2} (100 t)$ con respecto a $t$ es $400 \frac{d}{d t} [\cos^{2} (100 t)]$ .

$400 \frac{d}{d t} [\cos^{2} (100 t)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \cos (100 t)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (100 t)$ .

$400 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$400 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (100 t)$ .

$400 (2 \cos (100 t) \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Paso 3

Multiplica $2$ por $400$ .

$800 (\cos (100 t) \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 100 t$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $100 t$ .

$800 \cos (100 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [100 t])$

Paso 4.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$800 \cos (100 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [100 t])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $100 t$ .

$800 \cos (100 t) (- \sin (100 t) \frac{d}{d t} [100 t])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $800$ .

$- 800 \cos (100 t) (\sin (100 t) \frac{d}{d t} [100 t])$

Paso 5.2

Como $100$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $100 t$ con respecto a $t$ es $100 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 800 \cos (100 t) \sin (100 t) (100 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 5.3

Multiplica $100$ por $- 800$ .

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t) \cdot 1$

Paso 5.5

Multiplica $- 80000$ por $1$ .

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t)$