Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{a + b t}}{t}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{a + b t}$ como ${(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{{(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{t}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = t$ .

$\frac{t \frac{d}{d t} [{(a + b t)}^{\frac{1}{2}}] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = a + b t$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $a + b t$ .

$\frac{t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a + b t$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t (\frac{{(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 8.3

Mueve ${(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ y $t$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [a + b t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $a + b t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [b t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 10

Como $a$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $a$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 11

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [b t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [b t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 12

Como $b$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $b t$ con respecto a $t$ es $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (b \frac{d}{d t} [t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 13

Combina $b$ y $\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 15

Multiplica $\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 16

Multiplica $\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$ por $\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 17

Combinar.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 18

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 19

Cancela el factor común de $2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 19.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 19.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b t + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 20

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} ({(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 22

Simplifica la expresión.

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Paso 22.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 22.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 23

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 23.1

Cancela el factor común.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 23.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{1} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 24

Simplifica.

$\frac{b t - 2 (a + b t) \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 25

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{b t - 2 (a + b t) \cdot 1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 26

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{b t - 2 (a + b t)}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 27

Simplifica.

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Paso 27.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{b t - 2 a - 2 (b t)}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 27.2

Resta $2 b t$ de $b t$ .

$\frac{- 2 a - b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Paso 27.3

Reordena los términos.

$\frac{- 2 a - b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 a$ .

$\frac{- (2 a) - b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.5

Factoriza $- 1$ de $- b t$ .

$\frac{- (2 a) - (b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 a) - (b t)$ .

$\frac{- (2 a + b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.7

Reescribe $- (2 a + b t)$ como $- 1 (2 a + b t)$ .

$\frac{- 1 (2 a + b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 a + b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$