Cálculo Ejemplos

${(e^{t^{2}} + 5 t)}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = e^{t^{2}} + 5 t$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{t^{2}} + 5 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} + 5 t]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} + 5 t]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{t^{2}} + 5 t$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} + 5 t]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{t^{2}} + 5 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [e^{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = t^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t^{2}$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t^{2}$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + \frac{d}{d t} [5 t])$

Paso 4.2

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + 5 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + 5 \cdot 1)$

Paso 4.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + 5)$