Cálculo Ejemplos

$\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{\sqrt{t}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Factoriza $t^{2}$ de $t^{3} + 2 t^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $t^{2}$ de $t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Factoriza $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + t^{2} \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.3

Factoriza $t^{2}$ de $t^{2} t + t^{2} \cdot 2$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t + 2)}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} (t + 2) t^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 4

Multiplica $t^{2}$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2}} t^{2} (t + 2)]$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2} (t + 2)]$

Paso 4.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (t + 2)]$

Paso 4.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 4}{2}} (t + 2)]$

Paso 4.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}} (t + 2)]$

Paso 5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ y $g (t) = t + 2$ .

$t^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2] + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$t^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Paso 6.3

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t^{\frac{3}{2}} (1 + 0) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Paso 6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Paso 6.4.2

Multiplica $t^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Paso 6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 10.2

Resta $2$ de $3$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Paso 11

Combina $\frac{3}{2}$ y $t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t^{\frac{3}{2}} + t \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12.2

Combina los términos.

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Paso 12.2.1

Combina $t$ y $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{t (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12.2.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (t^{1} t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12.2.6

Suma $2$ y $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12.2.7

Combina $2$ y $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 12.2.8

Multiplica $3$ por $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12.2.9

Factoriza $2$ de $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 12.2.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.10.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Paso 12.2.10.2

Cancela el factor común.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 12.2.10.3

Reescribe la expresión.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

Paso 12.2.10.4

Divide $3 t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Paso 12.2.11

Para escribir $t^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Paso 12.2.12

Combina $t^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Paso 12.2.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Paso 12.2.14

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Paso 12.2.15

Suma $2 t^{\frac{3}{2}}$ y $3 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Paso 12.3

Reordena los términos.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$