Cálculo Ejemplos

${(\frac{t^{3}}{t^{8} + 3})}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{8} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Paso 2

Combina $2$ y $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = t^{8} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{(t^{8} + 3) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{(t^{8} + 3) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $t^{8} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{8} + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 4.5

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + 0)}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $8 t^{7}$ y $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7})}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{3} t^{7}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 5

Multiplica $t^{3}$ por $t^{7}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $t^{7}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 (t^{7} t^{3})}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{7 + 3}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 5.3

Suma $7$ y $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 6

Multiplica $\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3}$ por $\frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{(t^{8} + 3) {(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 7

Multiplica $t^{8} + 3$ por ${(t^{8} + 3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Multiplica $t^{8} + 3$ por ${(t^{8} + 3)}^{2}$ .

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Paso 7.1.1

Eleva $t^{8} + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{1} {(t^{8} + 3)}^{2}}$

Paso 7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{1 + 2}}$

Paso 7.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{8} + 3 \cdot 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2} + 3 \cdot 3 t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1.1

Multiplica $t^{3}$ por $t^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.1.1.1

Mueve $t^{8}$ .

$\frac{2 (t^{8} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 t^{8 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.1.3

Suma $8$ y $3$ .

$\frac{2 t^{11} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.3

Multiplica $t^{11}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.1.3.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{11}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.3.3

Suma $2$ y $11$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.6

Multiplica $t^{3}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.1.6.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.6.3

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.7

Multiplica $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Paso 8.4.1.7.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 6 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.7.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.9

Multiplica $t^{3}$ por $t^{10}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.1.9.1

Mueve $t^{10}$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{10} t^{3})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{10 + 3}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.9.3

Suma $10$ y $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{13}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.1.10

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} - 16 t^{13}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.4.2

Resta $16 t^{13}$ de $6 t^{13}$ .

$\frac{- 10 t^{13} + 18 t^{5}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.5

Factoriza $2 t^{5}$ de $- 10 t^{13} + 18 t^{5}$ .

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Paso 8.5.1

Factoriza $2 t^{5}$ de $- 10 t^{13}$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 18 t^{5}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.5.2

Factoriza $2 t^{5}$ de $18 t^{5}$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.5.3

Factoriza $2 t^{5}$ de $2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8} + 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.6

Factoriza $- 1$ de $- 5 t^{8}$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) + 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.7

Reescribe $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) - 1 (- 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.8

Factoriza $- 1$ de $- (5 t^{8}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8} - 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.9

Reescribe $- (5 t^{8} - 9)$ como $- 1 (5 t^{8} - 9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- 1 (5 t^{8} - 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Paso 8.11

Reordena los factores en $- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$ .

$- \frac{2 t^{5} (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$