Cálculo Ejemplos

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{1}{x}}{h}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sqrt{x + h} x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{\sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $\sqrt{x + h} x$ .

$\frac{\frac{x}{x \sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}$ por $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Paso 1.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}$ por $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}}}{h}$

Paso 1.6.2

Mueve $\sqrt{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x (\sqrt{x + h} \sqrt{x + h})}}{h}$

Paso 1.6.3

Eleva $\sqrt{x + h}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x ({\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h})}}{h}$

Paso 1.6.4

Eleva $\sqrt{x + h}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x ({\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1})}}{h}$

Paso 1.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {\sqrt{x + h}}^{1 + 1}}}{h}$

Paso 1.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {\sqrt{x + h}}^{2}}}{h}$

Paso 1.6.7

Reescribe ${\sqrt{x + h}}^{2}$ como $x + h$ .

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Paso 1.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + h}$ como ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{h}$

Paso 1.6.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{h}$

Paso 1.6.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Paso 1.6.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Paso 1.6.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{1}}}{h}$

Paso 1.6.7.5

Simplifica.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.8

Multiplica $- \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}$ .

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Paso 1.8.1

Eleva $\sqrt{x + h}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - ({\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h})}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.8.2

Eleva $\sqrt{x + h}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - ({\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1})}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {\sqrt{x + h}}^{1 + 1}}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {\sqrt{x + h}}^{2}}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1

Reescribe ${\sqrt{x + h}}^{2}$ como $x + h$ .

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Paso 1.9.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + h}$ como ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.9.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.9.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.9.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.9.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{1}}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.9.1.5

Simplifica.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 3

Multiplica $\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)}$ por $\frac{1}{h}$ .

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h) h}$

Paso 4

Reordena los factores en $\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h) h}$ .

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x h (x + h)}$