Cálculo Ejemplos

$- 8 x^{2} - 8 x + 2 < 9 x - 6$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.1

Resta $9 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 8 x^{2} - 8 x + 2 - 9 x < - 6$

Paso 1.2

Resta $9 x$ de $- 8 x$ .

$- 8 x^{2} - 17 x + 2 < - 6$

Paso 2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 2.1

Suma $6$ a ambos lados de la desigualdad.

$- 8 x^{2} - 17 x + 2 + 6 < 0$

Paso 2.2

Suma $2$ y $6$ .

$- 8 x^{2} - 17 x + 8 < 0$

Paso 3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 8 x^{2} - 17 x + 8 = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = - 8$ , $b = - 17$ y $c = 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 8 \cdot 8)}}{2 \cdot - 8}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 17$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 8 \cdot 8}}{2 \cdot - 8}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 8 \cdot 8$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 32 \cdot 8}}{2 \cdot - 8}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $32$ por $8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 256}}{2 \cdot - 8}$

Paso 6.1.3

Suma $289$ y $256$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{545}}{2 \cdot - 8}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{545}}{- 16}$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{17 \pm \sqrt{545}}{16}$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}, - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$- 8 {(- 5)}^{2} - 8 \cdot - 5 + 2 < 9 (- 5) - 6$

Paso 9.1.3

$- 158$ del lado izquierdo es menor que $- 51$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 8 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 2 < 9 (0) - 6$

Paso 9.2.3

$2$ del lado izquierdo no es menor que $- 6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$- 8 {(3)}^{2} - 8 \cdot 3 + 2 < 9 (3) - 6$

Paso 9.3.3

$- 94$ del lado izquierdo es menor que $21$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ Verdadero

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Falso

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Verdadero

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ Verdadero

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Falso

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ o $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16} or x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}) \cup (- \frac{17 - \sqrt{545}}{16}, \infty)$

Paso 12