Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$ por $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$ .

$\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}} \cdot \frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$ por $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$ .

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{{\sqrt{a + b}}^{2} + \sqrt{(a + b) (a - b)} - \sqrt{(a + b) (a - b)} - {\sqrt{a - b}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Eleva $\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Paso 3.2

Eleva $\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1} {(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1}}{2 b}$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1 + 1}}{2 b}$

Paso 3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{2}}{2 b}$

Paso 4

Reescribe ${(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{2}$ como $(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})$ .

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Paso 5

Expande $(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{a + b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) + \sqrt{a - b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{a + b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{a + b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $\sqrt{a + b} \sqrt{a + b}$ .

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Paso 6.1.1.1

Eleva $\sqrt{a + b}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.1.2

Eleva $\sqrt{a + b}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1} {\sqrt{a + b}}^{1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1 + 1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.2

Reescribe ${\sqrt{a + b}}^{2}$ como $a + b$ .

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Paso 6.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{a + b}$ como ${(a + b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(a + b)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(a + b)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(a + b)}^{1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.2.5

Simplifica.

$\frac{a + b + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.5

Multiplica $\sqrt{a - b} \sqrt{a - b}$ .

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Paso 6.1.5.1

Eleva $\sqrt{a - b}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Paso 6.1.5.2

Eleva $\sqrt{a - b}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1} {\sqrt{a - b}}^{1}}{2 b}$

Paso 6.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1 + 1}}{2 b}$

Paso 6.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{2}}{2 b}$

Paso 6.1.6

Reescribe ${\sqrt{a - b}}^{2}$ como $a - b$ .

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Paso 6.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{a - b}$ como ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {({(a - b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 b}$

Paso 6.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 b}$

Paso 6.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}{2 b}$

Paso 6.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}{2 b}$

Paso 6.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{1}}{2 b}$

Paso 6.1.6.5

Simplifica.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + a - b}{2 b}$

Paso 6.2

Suma $a$ y $a$ .

$\frac{2 a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} - b}{2 b}$

Paso 6.3

Resta $b$ de $b$ .

$\frac{2 a + 0 + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

Paso 6.4

Suma $2 a$ y $0$ .

$\frac{2 a + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(a + b) (a - b)}$ como ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

Paso 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(a - b) (a + b)}$ como ${((a - b) (a + b))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + {((a - b) (a + b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Paso 7.3

Reordena los factores de $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Paso 7.4

Suma ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ y ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 a + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $2$ de $2 a$ .

$\frac{2 (a) + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Paso 7.5.2

Factoriza $2$ de $2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (a) + 2 ({((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.5.3

Factoriza $2$ de $2 (a) + 2 ({((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.6

Expande $(a + b) (a - b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (a + {(a (a - b) + b (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + a (- b) + b (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.7

Combina los términos opuestos en $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

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Paso 7.7.1

Reordena los factores en los términos $a (- b)$ y $b a$ .

$\frac{2 (a + {(a \cdot a - a b + a b + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.7.2

Suma $- a b$ y $a b$ .

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + 0 + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.7.3

Suma $a \cdot a$ y $0$ .

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.8

Simplifica cada término.

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Paso 7.8.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{2 (a + {(a^{2} + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.8.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b \cdot b)}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.8.3

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 7.8.3.1

Mueve $b$ .

$\frac{2 (a + {(a^{2} - (b \cdot b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 7.8.3.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}}}{b}$