Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} + 8}{x + 2}$ no está definida.

$x = - 2$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 2^{3}}{x + 2}$

Paso 6.1.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x + 2}$

Paso 6.1.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x + 2}$

Paso 6.1.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x + 2}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x + 2}$

Paso 6.1.2.2

Divide $x^{2} - 2 x + 4$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x + 4$

Paso 6.2

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x^{2} - 2 x + 4$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x^{2} - 2 x + 4$

Paso 8