Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x - 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.2

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{3}$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.5.2

Divide $2 x - 1$ por $1$ .

$2 x - 1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{3}$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$2 x - 1 = \frac{A {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.6.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{3}$ y ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 1.6.2.1

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de $(B) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x - 1 = A + \frac{B (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.6.2.2.4

Divide $B (x + 1)$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.6.4

Multiplica $B$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Paso 1.6.5

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{3}$ y $x + 1$ .

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Paso 1.6.5.1

Factoriza $x + 1$ de $(C) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Paso 1.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

Paso 1.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

Paso 1.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{C {(x + 1)}^{2}}{1}$

Paso 1.6.5.2.4

Divide $C {(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.6.6

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C ((x + 1) (x + 1))$

Paso 1.6.7

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Paso 1.6.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Paso 1.6.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 1.6.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.6.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 1.6.8.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 1.6.8.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Paso 1.6.8.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1)$

Paso 1.6.8.2

Suma $x$ y $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + 2 x + 1)$

Paso 1.6.9

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + C (2 x) + C \cdot 1$

Paso 1.6.10

Simplifica.

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Paso 1.6.10.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1$

Paso 1.6.10.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C$

Paso 1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.1

Mueve $B$ .

$2 x - 1 = A + B x + C x^{2} + 2 C x + B + C$

Paso 1.7.2

Mueve $A$ .

$2 x - 1 = B x + C x^{2} + 2 C x + A + B + C$

Paso 1.7.3

Reordena $B x$ y $C x^{2}$ .

$2 x - 1 = C x^{2} + B x + 2 C x + A + B + C$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = B + 2 C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = A + B + C$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $2 = B + 2 C$ por $0$ .

$2 = B + 2 (0)$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $B + 2 (0)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 = B + 0$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $B$ y $0$ .

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $- 1 = A + B + C$ por $0$ .

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

Paso 3.2.4

Simplifica $- 1 = A + B + 0$ .

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Paso 3.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.1.1

Elimina los paréntesis.

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.2.1

Suma $A + B$ y $0$ .

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

Paso 3.3

Reescribe la ecuación como $B = 2$ .

$B = 2$

$- 1 = A + B$

$C = 0$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 1 = A + B$ por $2$ .

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

Paso 3.5

Resuelve $A$ en $- 1 = A + 2$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $A + 2 = - 1$ .

$A + 2 = - 1$

$B = 2$

$C = 0$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - 1 - 2$

$B = 2$

$C = 0$

Paso 3.5.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

Paso 3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = - 3 B = 2 C = 0$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$A = - 3, B = 2, C = 0$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$