Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.1.2

Divide $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.4.2

Divide $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

Paso 1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

Paso 1.6.6

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A x + 2 A + B x + B$

Paso 1.7

Mueve $2 A$ .

$1 = A x + B x + 2 A + B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 2 A + B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = 2 A + B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = 2 A + B$ por $- B$ .

$1 = 2 (- B) + B$

$A = - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- B) + B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 = - 2 B + B$

$A = - B$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $- 2 B$ y $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $1 = - B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 3.3.2.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 1, B = - 1$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 2}$