Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3}}{x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 27}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x^{3}}{(x^{3} - 3 x^{2}) + 9 x - 27}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x^{3}}{x^{2} (x - 3) + 9 (x - 3)}$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 3$ .

$\frac{x^{3}}{(x - 3) (x^{2} + 9)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Paso 1.3

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 3) (x^{2} + 9)$ .

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x^{2} + 9$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Paso 1.6.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$x^{3} = \frac{A (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x^{2} + 9)$ por $1$ .

$x^{3} = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Paso 1.7.3

Mueve $9$ a la izquierda de $A$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 9$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B x + C) (x - 3)$ por $1$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

Paso 1.7.5

Expande $(B x + C) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

Paso 1.7.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

Paso 1.7.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Paso 1.7.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.6.1.1

Mueve $x$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Paso 1.7.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Paso 1.7.6.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $B x$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

Paso 1.7.6.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $C$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Mueve $B$ .

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

Paso 1.8.2

Mueve $9 A$ .

$x^{3} = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 3 B + C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 9 A - 3 C$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 9 A - 3 C$ por $- B$ .

$0 = 9 (- B) - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

Paso 3.3

Resuelve $C$ en $0 = - 3 B + C$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 3 B + C = 0$ .

$- 3 B + C = 0$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

Paso 3.3.2

Suma $3 B$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $3 B$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $0 = - 9 B - 3 C$ por $3 B$ .

$0 = - 9 B - 3 (3 B)$

$C = 3 B$

$A = - B$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 9 B - 3 (3 B)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$0 = - 9 B - 9 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

Paso 3.4.2.1.2

Resta $9 B$ de $- 9 B$ .

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

Paso 3.5

Resuelve $B$ en $0 = - 18 B$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 18 B = 0$ .

$- 18 B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $- 18 B = 0$ por $- 18$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $- 18 B = 0$ por $- 18$ .

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 18$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Divide $0$ por $- 18$ .

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $B$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $C = 3 B$ por $0$ .

$C = 3 (0)$

$B = 0$

$A = - B$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $0$ .

$A = - (0)$

$C = 0$

$B = 0$

Paso 3.6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$A = 0, C = 0, B = 0$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 9}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Suma $(0) \cdot x$ y $0$ .

$\frac{0}{x - 3} + \frac{(0) \cdot x}{x^{2} + 9}$

Paso 5.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0}{x^{2} + 9}$