Cálculo Ejemplos

$z = e^{- (x^{2} + y^{2})}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$ .

$e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})}) = \ln (z)$

Paso 3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Expande $\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})})$ ; para ello, mueve $- (x^{2} + y^{2})$ fuera del logaritmo.

$- (x^{2} + y^{2}) \ln (e) = \ln (z)$

Paso 3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(- x^{2} - y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Paso 3.4

Multiplica $- x^{2} - y^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} - y^{2} = \ln (z)$

Paso 4

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$

Paso 5

Divide cada término en $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Paso 5.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (z)}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Paso 5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (z)$ como $- \ln (z)$ .

$y^{2} = - \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Paso 5.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - 1 \cdot x^{2}$

Paso 5.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - x^{2}$

Paso 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Paso 7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Paso 8

Establece el argumento en $\ln (z)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$z > 0$

Paso 9

Establece el radicando en $\sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- \ln (z) - x^{2} \geq 0$

Paso 10

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la desigualdad.

$- \ln (z) \geq x^{2}$

Paso 11

El dominio son todos los valores de $z$ que hacen que la expresión sea definida.

$[N o (Max i m u m), \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${z | z \geq N o (Max i m u m)}$