Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{2 x} {(1 - 4 x)}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Paso 1.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Paso 1.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Paso 1.3

Como $2^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}$ con respecto a $x$ es $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = {(1 - 4 x)}^{3}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{3}] + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 1 - 4 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 4 x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 4 x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.5

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.7

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 11

Combina ${(1 - 4 x)}^{3}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + \frac{{(1 - 4 x)}^{3} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 12

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 13

Para escribir $x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 14

Combina $x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2})$ y $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17

Simplifica la expresión.

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Paso 17.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{1 + 1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2

Suma $1$ y $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{2}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{2}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.2

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{1}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x^{1} + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20

Simplifica.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21

Combina $2^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} (- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 23

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 23.1

Mueve $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.2

Multiplica $2^{- \frac{1}{2}}$ por $2$ .

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Paso 23.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24

Simplifica.

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Paso 24.1

Simplifica el numerador.

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Paso 24.1.1

Factoriza ${(1 - 4 x)}^{2}$ de $- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}$ .

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Paso 24.1.1.1

Factoriza ${(1 - 4 x)}^{2}$ de $- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.1.1.2

Factoriza ${(1 - 4 x)}^{2}$ de ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{2} (1 - 4 x)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.1.1.3

Factoriza ${(1 - 4 x)}^{2}$ de ${(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{2} (1 - 4 x)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x + 1 - 4 x)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.1.2

Resta $4 x$ de $- 24 x$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 28 x + 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2

Factoriza $- 1$ de $- 28 x$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x) + 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x) - 1 (- 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.4

Factoriza $- 1$ de $- (28 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x - 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.5

Reescribe $- (28 x - 1)$ como $- 1 (28 x - 1)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 1 (28 x - 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (28 x - 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$