Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $π (x - 1)$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

Paso 2.2.1.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $π$ .

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $- 1 π$ como $- π$ .

$π x - π \geq \arcsin (0)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$π x - π \geq 0$

Paso 2.4

Suma $π$ a ambos lados de la desigualdad.

$π x \geq π$

Paso 2.5

Divide cada término en $π x \geq π$ por $π$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $π x \geq π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{π}{π}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$x \geq \frac{π}{π}$

Paso 2.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x \geq 1$

Paso 2.6

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$π x - π = π - 0$

Paso 2.7

Resuelve $x$

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Paso 2.7.1

Resta $0$ de $π$ .

$π x - π = π$

Paso 2.7.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.7.2.1

Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$π x = π + π$

Paso 2.7.2.2

Suma $π$ y $π$ .

$π x = 2 π$

Paso 2.7.3

Divide cada término en $π x = 2 π$ por $π$ y simplifica.

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Paso 2.7.3.1

Divide cada término en $π x = 2 π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Paso 2.7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.3.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.7.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Paso 2.7.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 π}{π}$

Paso 2.7.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.3.3.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.7.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 π}{π}$

Paso 2.7.3.3.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$x = 2$

Paso 2.8

Obtén el período de $\sin (π (x - 1))$ .

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Paso 2.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.8.2

Reemplaza $b$ con $π$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| π |}$

Paso 2.8.3

$π$ es aproximadamente $3.14159265$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{π}$

Paso 2.8.4

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{π}$

Paso 2.8.4.2

Divide $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.9

El período de la función $\sin (π (x - 1))$ es $2$ , por lo que los valores se repetirán cada $2$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.10

Consolida las respuestas.

$x = 1 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

Paso 2.12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.12.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 2.12.1.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

Paso 2.12.1.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.12.2

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.5$

Paso 2.12.2.2

Reemplaza $x$ con $1.5$ en la desigualdad original.

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

Paso 2.12.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.12.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadero

Paso 2.13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece el radicando en $\sqrt{4 - x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$4 - x^{2} \geq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $4$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 4$

Paso 4.2

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 4$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 4.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Paso 4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Paso 4.4

Simplifica la ecuación.

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Paso 4.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica $\sqrt{4}$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.4.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq | 2 |$

Paso 4.4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$| x | \leq 2$

Paso 4.5

Escribe $| x | \leq 2$ como una función definida por partes.

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Paso 4.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 4.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 2$

Paso 4.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 4.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 2$

Paso 4.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Paso 4.6

Obtén la intersección de $x \leq 2$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Paso 4.7

Resuelve $- x \leq 2$ cuando $x < 0$ .

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Paso 4.7.1

Divide cada término en $- x \leq 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.7.1.1

Divide cada término de $- x \leq 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Paso 4.7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Paso 4.7.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Paso 4.7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.7.1.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$x \geq - 2$

Paso 4.7.2

Obtén la intersección de $x \geq - 2$ y $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Paso 4.8

Obtén la unión de las soluciones.

$- 2 \leq x \leq 2$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

Paso 6