Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 5 x - 14}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} - 5 x - 14}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} - 5 x - 14 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 5 x - 14 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2} - 5 x - 14$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 14$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 7, 2$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 7) (x + 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 7, - 2$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 7$

$x > 7$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4 - 14 \geq 0$

Paso 2.8.1.3

$22$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 5 \cdot 0 - 14 \geq 0$

Paso 2.8.2.3

$- 14$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

${(10)}^{2} - 5 \cdot 10 - 14 \geq 0$

Paso 2.8.3.3

$36$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 2$ o $x \geq 7$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2] \cup [7, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 2, x \geq 7}$

Paso 4