Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$

Paso 1

Establece el argumento en $\ln (x^{2} - 2 x + 1)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} - 2 x + 1 > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1$

$x > 1$

Paso 2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1 > 0$

Paso 2.6.1.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 1 > 0$

Paso 2.6.2.3

$9$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.6.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Verdadero

$x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Verdadero

Paso 2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 1$ o $x > 1$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Paso 4