Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\sin (x)}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - \sin (x) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Reordena los factores en $x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)}{x^{4}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{x (x \cos (x)) - 2 x \sin (x)}{x^{4}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 x \sin (x)$ .

$\frac{x (x \cos (x)) + x (- 2 \sin (x))}{x^{4}}$

Paso 4.2.2.3

Factoriza $x$ de $x (x \cos (x)) + x (- 2 \sin (x))$ .

$\frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x^{4}}$

Paso 4.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x \cos (x) - 2 \sin (x)}{x^{3}}$