Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x) - \frac{x^{5}}{50}$

Paso 1

Esta derivada no pudo completarse mediante la regla del cociente. Mathway usará otro método.

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x) - \frac{x^{5}}{50}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)]$ .

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Paso 3.1

Combina $\frac{x^{5}}{10}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5} \ln (x)}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.2

Como $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{5} \ln (x)}{10}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.6

Combina $x^{5}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.7.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.7.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.7.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{10} (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 3.7.2.5

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$ .

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Paso 4.1

Como $- \frac{1}{50}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{5}}{50}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{1}{50} (5 x^{4})$

Paso 4.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - 5 (\frac{1}{50}) x^{4}$

Paso 4.4

Combina $- 5$ y $\frac{1}{50}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- 5}{50} x^{4}$

Paso 4.5

Combina $\frac{- 5}{50}$ y $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- 5 x^{4}}{50}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $- 5$ y $50$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{50}$

Paso 4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.2.1

Factoriza $5$ de $50$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{5 (10)}$

Paso 4.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 10}$

Paso 4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- x^{4}}{10}$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{1}{10} (\ln (x) (5 x^{4})) - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{\ln (x)}{10} (5 x^{4}) - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5.2.2

Combina $5$ y $\frac{\ln (x)}{10}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 \ln (x)}{10} x^{4} - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{5 \ln (x)}{10}$ y $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 \ln (x) x^{4}}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $5$ y $10$ .

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Paso 5.2.4.1

Factoriza $5$ de $5 \ln (x) x^{4}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{5 \cdot 2} - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{5 \cdot 2} - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5.2.5

Para escribir $\frac{1}{10} x^{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{1}{10} x^{4} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5.2.6

Combina $\frac{1}{10} x^{4}$ y $\frac{10}{10}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{1}{10} x^{4} \cdot 10}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Paso 5.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{1}{10} x^{4} \cdot 10 - x^{4}}{10}$

Paso 5.2.8

Combina $\frac{1}{10}$ y $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{x^{4}}{10} \cdot 10 - x^{4}}{10}$

Paso 5.2.9

Combina $\frac{x^{4}}{10}$ y $10$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{x^{4} \cdot 10}{10} - x^{4}}{10}$

Paso 5.2.10

Mueve $10$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{10 \cdot x^{4}}{10} - x^{4}}{10}$

Paso 5.2.11

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.2.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{10 x^{4}}{10} - x^{4}}{10}$

Paso 5.2.11.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{x^{4} - x^{4}}{10}$

Paso 5.2.12

Resta $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{0}{10}$

Paso 5.2.13

Cancela el factor común de $0$ y $10$ .

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Paso 5.2.13.1

Factoriza $10$ de $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 (0)}{10}$

Paso 5.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.13.2.1

Factoriza $10$ de $10$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Paso 5.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Paso 5.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{0}{1}$

Paso 5.2.13.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + 0$

Paso 5.2.14

Suma $\frac{\ln (x) x^{4}}{2}$ y $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$\frac{x^{4} \ln (x)}{2}$