Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{6} + 8 y^{7}}{x^{7} + y^{8}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{6} + 8 y^{7}$ y $g (x) = x^{7} + y^{8}$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8 y^{7}] - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{6} + 8 y^{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 2.3

Como $8 y^{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 y^{7}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5} + 0) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $6 x^{5}$ y $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{7} + y^{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{8}])}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [y^{8}])}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 2.7

Como $y^{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{8}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6} + 0)}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 2.8

Suma $7 x^{6}$ y $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) + (- x^{6} - (8 y^{7})) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 x^{7} x^{5} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $x^{7}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.2.1

Mueve $x^{5}$ .

$\frac{6 (x^{5} x^{7}) + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x^{5 + 7} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.2.3

Suma $5$ y $7$ .

$\frac{6 x^{12} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{6} x^{6} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.5

Multiplica $x^{6}$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.5.1

Mueve $x^{6}$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 (x^{6} x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{6 + 6} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.5.3

Suma $6$ y $6$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{12} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.7

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 8 y^{7} (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 8 \cdot 7 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.1.9

Multiplica $- 8$ por $7$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 56 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.4.2

Resta $7 x^{12}$ de $6 x^{12}$ .

$\frac{- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$\frac{- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.6

Factoriza $x^{5}$ de $- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $x^{5}$ de $- x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.6.2

Factoriza $x^{5}$ de $6 y^{8} x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8}) - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.6.3

Factoriza $x^{5}$ de $- 56 y^{7} x^{6}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.6.4

Factoriza $x^{5}$ de $x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8})$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.6.5

Factoriza $x^{5}$ de $x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8} - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.7

Factoriza $- 1$ de $- x^{7}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7}) + 6 y^{8} - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.8

Factoriza $- 1$ de $6 y^{8}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7}) - (- 6 y^{8}) - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{7}) - (- 6 y^{8})$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8}) - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.10

Factoriza $- 1$ de $- 56 y^{7} x$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8}) - (56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.11

Factoriza $- 1$ de $- (x^{7} - 6 y^{8}) - (56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.12

Reescribe $- (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)$ como $- 1 (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Paso 3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{5} (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$