Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x}{x + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 \cdot 1) - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x + 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x + 2 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 - 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x + 2 - 2 x$ .

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Paso 3.2.2.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$