Cálculo Ejemplos

$\frac{4 x}{x^{2} + 36}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x$ y $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [4 x] - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \cdot 1) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 36$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $36$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 1 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.2.1.5.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 8 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Resta $8 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} + 144$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $4$ de $144$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (36)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Reordena $- x^{2}$ y $6^{2}$ .

$\frac{4 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 6$ y $b = x$ .

$\frac{4 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$