Cálculo Ejemplos

$\frac{8 x - 16}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 8 x - 16$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [8 x - 16] - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (8 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (8 + 0) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4.2

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 8 + (- (8 x) - - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{8 \cdot x^{2} - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 x^{2} - (8 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} - (8 x^{2}) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x^{2} \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.6

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Resta $16 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 5.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 5.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{4}}$

Paso 5.5

Factoriza $8 x$ de $- 8 x^{2} + 32 x$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $8 x$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 x (- x) + 32 x}{x^{4}}$

Paso 5.5.2

Factoriza $8 x$ de $32 x$ .

$\frac{8 x (- x) + 8 x (4)}{x^{4}}$

Paso 5.5.3

Factoriza $8 x$ de $8 x (- x) + 8 x (4)$ .

$\frac{8 x (- x + 4)}{x^{4}}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $x$ de $8 x (- x + 4)$ .

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x^{4}}$

Paso 5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 (- x + 4)}{x^{3}}$

Paso 5.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 4)}{x^{3}}$

Paso 5.8

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 4))}{x^{3}}$

Paso 5.9

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{8 (- (x - 4))}{x^{3}}$

Paso 5.10

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 4))}{x^{3}}$

Paso 5.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8 (x - 4)}{x^{3}}$